Séminaire du CIMMUL – Kodjo Raphaël Madou

Les progrès récents sur les équations différentielles stochastiques avec un drift singulier

Kodjo Raphaël Madou

Étudiant au doctorat
Département de mathématiques et de statistique, Université Laval

Résumé

La perturbation d’une puissance fractionnaire de l’opérateur de Laplace par un terme de drift singulier dans l’espace L^p est un problème délicat, afin de gérer une telle perturbation, nous avons besoin d’un ensemble de techniques, certaines de nature analytique, d’autres de nature probabiliste. L’interaction de ces méthodes est d’un grand intérêt. Par exemple, nous pouvons obtenir certaines solutions d’équations différentielles stochastiques fractionnaires par un raisonnement analytique.

Dans cet exposé je discuterai des avancées récentes sur l’étude des équations différentielles stochastique (EDS) avec des drifts ayant des singularités critiques, c’est-à-dire l’existence et l’unicité des solutions faibles des EDS. Je poursuis le point de vue analytique, en d’autres termes l’existence et les propriétés du processus qui proviennent de la théorie de régularité de l’objet analytique qui lui correspond : une équation différentielle partielle parabolique. Ce point de vue est bien adapté pour traiter des perturbations singulières. Les équations de ce type apparaissent également en hydrodynamique (telles que les équations de Navier-Stokes et d’Euler) ; mon travail fournit leurs formes linéarisées, où les singularités de la vitesse du liquide peuvent être « cachées » dans les singularités du drift. L’exposé est basé sur des articles conjoints avec D. Kinzebulatov (Laval) et Yu. A.  Semenov (Toronto).